(0) Obligation:
Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:
U11(tt, V1, V2) → U12(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U12(tt, V2) → U13(isNat(activate(V2)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, M, N) → s(plus(activate(N), activate(M)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__plus(V1, V2)) → U11(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__plus(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
plus(N, 0) → U31(and(isNat(N), n__isNatKind(N)), N)
plus(N, s(M)) → U41(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
0 → n__0
plus(X1, X2) → n__plus(X1, X2)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
s(X) → n__s(X)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNat(X) → n__isNat(X)
activate(n__0) → 0
activate(n__plus(X1, X2)) → plus(activate(X1), activate(X2))
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(X) → X
Rewrite Strategy: FULL
(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)
The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(2n):
The rewrite sequence
isNat(n__plus(n__isNat(X30719_4), V2)) →+ U11(and(isNatKind(isNat(X30719_4)), n__isNatKind(activate(V2))), isNat(X30719_4), activate(V2))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,0,0].
The pumping substitution is [X30719_4 / n__plus(n__isNat(X30719_4), V2)].
The result substitution is [ ].
The rewrite sequence
isNat(n__plus(n__isNat(X30719_4), V2)) →+ U11(and(isNatKind(isNat(X30719_4)), n__isNatKind(activate(V2))), isNat(X30719_4), activate(V2))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [1].
The pumping substitution is [X30719_4 / n__plus(n__isNat(X30719_4), V2)].
The result substitution is [ ].
(2) BOUNDS(2^n, INF)
(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
(4) Obligation:
Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:
U11(tt, V1, V2) → U12(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U12(tt, V2) → U13(isNat(activate(V2)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, M, N) → s(plus(activate(N), activate(M)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__plus(V1, V2)) → U11(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__plus(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
plus(N, 0') → U31(and(isNat(N), n__isNatKind(N)), N)
plus(N, s(M)) → U41(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
0' → n__0
plus(X1, X2) → n__plus(X1, X2)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
s(X) → n__s(X)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNat(X) → n__isNat(X)
activate(n__0) → 0'
activate(n__plus(X1, X2)) → plus(activate(X1), activate(X2))
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(X) → X
S is empty.
Rewrite Strategy: FULL
(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)
Infered types.
(6) Obligation:
TRS:
Rules:
U11(tt, V1, V2) → U12(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U12(tt, V2) → U13(isNat(activate(V2)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, M, N) → s(plus(activate(N), activate(M)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__plus(V1, V2)) → U11(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__plus(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
plus(N, 0') → U31(and(isNat(N), n__isNatKind(N)), N)
plus(N, s(M)) → U41(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
0' → n__0
plus(X1, X2) → n__plus(X1, X2)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
s(X) → n__s(X)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNat(X) → n__isNat(X)
activate(n__0) → 0'
activate(n__plus(X1, X2)) → plus(activate(X1), activate(X2))
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(X) → X
Types:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
isNat,
activate,
U31,
plus,
and,
isNatKindThey will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U31
isNat = plus
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U31
activate = plus
activate = and
activate = isNatKind
U31 = plus
U31 = and
U31 = isNatKind
plus = and
plus = isNatKind
and = isNatKind
(8) Obligation:
TRS:
Rules:
U11(
tt,
V1,
V2) →
U12(
isNat(
activate(
V1)),
activate(
V2))
U12(
tt,
V2) →
U13(
isNat(
activate(
V2)))
U13(
tt) →
ttU21(
tt,
V1) →
U22(
isNat(
activate(
V1)))
U22(
tt) →
ttU31(
tt,
N) →
activate(
N)
U41(
tt,
M,
N) →
s(
plus(
activate(
N),
activate(
M)))
and(
tt,
X) →
activate(
X)
isNat(
n__0) →
ttisNat(
n__plus(
V1,
V2)) →
U11(
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2))),
activate(
V1),
activate(
V2))
isNat(
n__s(
V1)) →
U21(
isNatKind(
activate(
V1)),
activate(
V1))
isNatKind(
n__0) →
ttisNatKind(
n__plus(
V1,
V2)) →
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2)))
isNatKind(
n__s(
V1)) →
isNatKind(
activate(
V1))
plus(
N,
0') →
U31(
and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N)),
N)
plus(
N,
s(
M)) →
U41(
and(
and(
isNat(
M),
n__isNatKind(
M)),
n__and(
n__isNat(
N),
n__isNatKind(
N))),
M,
N)
0' →
n__0plus(
X1,
X2) →
n__plus(
X1,
X2)
isNatKind(
X) →
n__isNatKind(
X)
s(
X) →
n__s(
X)
and(
X1,
X2) →
n__and(
X1,
X2)
isNat(
X) →
n__isNat(
X)
activate(
n__0) →
0'activate(
n__plus(
X1,
X2)) →
plus(
activate(
X1),
activate(
X2))
activate(
n__isNatKind(
X)) →
isNatKind(
X)
activate(
n__s(
X)) →
s(
activate(
X))
activate(
n__and(
X1,
X2)) →
and(
activate(
X1),
X2)
activate(
n__isNat(
X)) →
isNat(
X)
activate(
X) →
XTypes:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4(x), tt)
The following defined symbols remain to be analysed:
and, isNat, activate, U31, plus, isNatKind
They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U31
isNat = plus
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U31
activate = plus
activate = and
activate = isNatKind
U31 = plus
U31 = and
U31 = isNatKind
plus = and
plus = isNatKind
and = isNatKind
(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol and.
(10) Obligation:
TRS:
Rules:
U11(
tt,
V1,
V2) →
U12(
isNat(
activate(
V1)),
activate(
V2))
U12(
tt,
V2) →
U13(
isNat(
activate(
V2)))
U13(
tt) →
ttU21(
tt,
V1) →
U22(
isNat(
activate(
V1)))
U22(
tt) →
ttU31(
tt,
N) →
activate(
N)
U41(
tt,
M,
N) →
s(
plus(
activate(
N),
activate(
M)))
and(
tt,
X) →
activate(
X)
isNat(
n__0) →
ttisNat(
n__plus(
V1,
V2)) →
U11(
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2))),
activate(
V1),
activate(
V2))
isNat(
n__s(
V1)) →
U21(
isNatKind(
activate(
V1)),
activate(
V1))
isNatKind(
n__0) →
ttisNatKind(
n__plus(
V1,
V2)) →
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2)))
isNatKind(
n__s(
V1)) →
isNatKind(
activate(
V1))
plus(
N,
0') →
U31(
and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N)),
N)
plus(
N,
s(
M)) →
U41(
and(
and(
isNat(
M),
n__isNatKind(
M)),
n__and(
n__isNat(
N),
n__isNatKind(
N))),
M,
N)
0' →
n__0plus(
X1,
X2) →
n__plus(
X1,
X2)
isNatKind(
X) →
n__isNatKind(
X)
s(
X) →
n__s(
X)
and(
X1,
X2) →
n__and(
X1,
X2)
isNat(
X) →
n__isNat(
X)
activate(
n__0) →
0'activate(
n__plus(
X1,
X2)) →
plus(
activate(
X1),
activate(
X2))
activate(
n__isNatKind(
X)) →
isNatKind(
X)
activate(
n__s(
X)) →
s(
activate(
X))
activate(
n__and(
X1,
X2)) →
and(
activate(
X1),
X2)
activate(
n__isNat(
X)) →
isNat(
X)
activate(
X) →
XTypes:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4(x), tt)
The following defined symbols remain to be analysed:
activate, isNat, U31, plus, isNatKind
They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U31
isNat = plus
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U31
activate = plus
activate = and
activate = isNatKind
U31 = plus
U31 = and
U31 = isNatKind
plus = and
plus = isNatKind
and = isNatKind
(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
activate(
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4(
+(
1,
n11442_4))) →
*3_4, rt ∈ Ω(n11442
4)
Induction Base:
activate(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4(+(1, 0)))
Induction Step:
activate(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4(+(1, +(n11442_4, 1)))) →RΩ(1)
plus(activate(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4(+(1, n11442_4))), activate(tt)) →IH
plus(*3_4, activate(tt)) →RΩ(1)
plus(*3_4, tt)
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(12) Complex Obligation (BEST)
(13) Obligation:
TRS:
Rules:
U11(
tt,
V1,
V2) →
U12(
isNat(
activate(
V1)),
activate(
V2))
U12(
tt,
V2) →
U13(
isNat(
activate(
V2)))
U13(
tt) →
ttU21(
tt,
V1) →
U22(
isNat(
activate(
V1)))
U22(
tt) →
ttU31(
tt,
N) →
activate(
N)
U41(
tt,
M,
N) →
s(
plus(
activate(
N),
activate(
M)))
and(
tt,
X) →
activate(
X)
isNat(
n__0) →
ttisNat(
n__plus(
V1,
V2)) →
U11(
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2))),
activate(
V1),
activate(
V2))
isNat(
n__s(
V1)) →
U21(
isNatKind(
activate(
V1)),
activate(
V1))
isNatKind(
n__0) →
ttisNatKind(
n__plus(
V1,
V2)) →
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2)))
isNatKind(
n__s(
V1)) →
isNatKind(
activate(
V1))
plus(
N,
0') →
U31(
and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N)),
N)
plus(
N,
s(
M)) →
U41(
and(
and(
isNat(
M),
n__isNatKind(
M)),
n__and(
n__isNat(
N),
n__isNatKind(
N))),
M,
N)
0' →
n__0plus(
X1,
X2) →
n__plus(
X1,
X2)
isNatKind(
X) →
n__isNatKind(
X)
s(
X) →
n__s(
X)
and(
X1,
X2) →
n__and(
X1,
X2)
isNat(
X) →
n__isNat(
X)
activate(
n__0) →
0'activate(
n__plus(
X1,
X2)) →
plus(
activate(
X1),
activate(
X2))
activate(
n__isNatKind(
X)) →
isNatKind(
X)
activate(
n__s(
X)) →
s(
activate(
X))
activate(
n__and(
X1,
X2)) →
and(
activate(
X1),
X2)
activate(
n__isNat(
X)) →
isNat(
X)
activate(
X) →
XTypes:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
Lemmas:
activate(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4(+(1, n11442_4))) → *3_4, rt ∈ Ω(n114424)
Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4(x), tt)
The following defined symbols remain to be analysed:
plus, isNat, U31, and, isNatKind
They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U31
isNat = plus
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U31
activate = plus
activate = and
activate = isNatKind
U31 = plus
U31 = and
U31 = isNatKind
plus = and
plus = isNatKind
and = isNatKind
(14) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol plus.
(15) Obligation:
TRS:
Rules:
U11(
tt,
V1,
V2) →
U12(
isNat(
activate(
V1)),
activate(
V2))
U12(
tt,
V2) →
U13(
isNat(
activate(
V2)))
U13(
tt) →
ttU21(
tt,
V1) →
U22(
isNat(
activate(
V1)))
U22(
tt) →
ttU31(
tt,
N) →
activate(
N)
U41(
tt,
M,
N) →
s(
plus(
activate(
N),
activate(
M)))
and(
tt,
X) →
activate(
X)
isNat(
n__0) →
ttisNat(
n__plus(
V1,
V2)) →
U11(
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2))),
activate(
V1),
activate(
V2))
isNat(
n__s(
V1)) →
U21(
isNatKind(
activate(
V1)),
activate(
V1))
isNatKind(
n__0) →
ttisNatKind(
n__plus(
V1,
V2)) →
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2)))
isNatKind(
n__s(
V1)) →
isNatKind(
activate(
V1))
plus(
N,
0') →
U31(
and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N)),
N)
plus(
N,
s(
M)) →
U41(
and(
and(
isNat(
M),
n__isNatKind(
M)),
n__and(
n__isNat(
N),
n__isNatKind(
N))),
M,
N)
0' →
n__0plus(
X1,
X2) →
n__plus(
X1,
X2)
isNatKind(
X) →
n__isNatKind(
X)
s(
X) →
n__s(
X)
and(
X1,
X2) →
n__and(
X1,
X2)
isNat(
X) →
n__isNat(
X)
activate(
n__0) →
0'activate(
n__plus(
X1,
X2)) →
plus(
activate(
X1),
activate(
X2))
activate(
n__isNatKind(
X)) →
isNatKind(
X)
activate(
n__s(
X)) →
s(
activate(
X))
activate(
n__and(
X1,
X2)) →
and(
activate(
X1),
X2)
activate(
n__isNat(
X)) →
isNat(
X)
activate(
X) →
XTypes:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
Lemmas:
activate(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4(+(1, n11442_4))) → *3_4, rt ∈ Ω(n114424)
Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4(x), tt)
The following defined symbols remain to be analysed:
U31, isNat, and, isNatKind
They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U31
isNat = plus
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U31
activate = plus
activate = and
activate = isNatKind
U31 = plus
U31 = and
U31 = isNatKind
plus = and
plus = isNatKind
and = isNatKind
(16) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol U31.
(17) Obligation:
TRS:
Rules:
U11(
tt,
V1,
V2) →
U12(
isNat(
activate(
V1)),
activate(
V2))
U12(
tt,
V2) →
U13(
isNat(
activate(
V2)))
U13(
tt) →
ttU21(
tt,
V1) →
U22(
isNat(
activate(
V1)))
U22(
tt) →
ttU31(
tt,
N) →
activate(
N)
U41(
tt,
M,
N) →
s(
plus(
activate(
N),
activate(
M)))
and(
tt,
X) →
activate(
X)
isNat(
n__0) →
ttisNat(
n__plus(
V1,
V2)) →
U11(
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2))),
activate(
V1),
activate(
V2))
isNat(
n__s(
V1)) →
U21(
isNatKind(
activate(
V1)),
activate(
V1))
isNatKind(
n__0) →
ttisNatKind(
n__plus(
V1,
V2)) →
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2)))
isNatKind(
n__s(
V1)) →
isNatKind(
activate(
V1))
plus(
N,
0') →
U31(
and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N)),
N)
plus(
N,
s(
M)) →
U41(
and(
and(
isNat(
M),
n__isNatKind(
M)),
n__and(
n__isNat(
N),
n__isNatKind(
N))),
M,
N)
0' →
n__0plus(
X1,
X2) →
n__plus(
X1,
X2)
isNatKind(
X) →
n__isNatKind(
X)
s(
X) →
n__s(
X)
and(
X1,
X2) →
n__and(
X1,
X2)
isNat(
X) →
n__isNat(
X)
activate(
n__0) →
0'activate(
n__plus(
X1,
X2)) →
plus(
activate(
X1),
activate(
X2))
activate(
n__isNatKind(
X)) →
isNatKind(
X)
activate(
n__s(
X)) →
s(
activate(
X))
activate(
n__and(
X1,
X2)) →
and(
activate(
X1),
X2)
activate(
n__isNat(
X)) →
isNat(
X)
activate(
X) →
XTypes:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
Lemmas:
activate(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4(+(1, n11442_4))) → *3_4, rt ∈ Ω(n114424)
Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4(x), tt)
The following defined symbols remain to be analysed:
isNat, and, isNatKind
They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U31
isNat = plus
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U31
activate = plus
activate = and
activate = isNatKind
U31 = plus
U31 = and
U31 = isNatKind
plus = and
plus = isNatKind
and = isNatKind
(18) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNat.
(19) Obligation:
TRS:
Rules:
U11(
tt,
V1,
V2) →
U12(
isNat(
activate(
V1)),
activate(
V2))
U12(
tt,
V2) →
U13(
isNat(
activate(
V2)))
U13(
tt) →
ttU21(
tt,
V1) →
U22(
isNat(
activate(
V1)))
U22(
tt) →
ttU31(
tt,
N) →
activate(
N)
U41(
tt,
M,
N) →
s(
plus(
activate(
N),
activate(
M)))
and(
tt,
X) →
activate(
X)
isNat(
n__0) →
ttisNat(
n__plus(
V1,
V2)) →
U11(
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2))),
activate(
V1),
activate(
V2))
isNat(
n__s(
V1)) →
U21(
isNatKind(
activate(
V1)),
activate(
V1))
isNatKind(
n__0) →
ttisNatKind(
n__plus(
V1,
V2)) →
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2)))
isNatKind(
n__s(
V1)) →
isNatKind(
activate(
V1))
plus(
N,
0') →
U31(
and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N)),
N)
plus(
N,
s(
M)) →
U41(
and(
and(
isNat(
M),
n__isNatKind(
M)),
n__and(
n__isNat(
N),
n__isNatKind(
N))),
M,
N)
0' →
n__0plus(
X1,
X2) →
n__plus(
X1,
X2)
isNatKind(
X) →
n__isNatKind(
X)
s(
X) →
n__s(
X)
and(
X1,
X2) →
n__and(
X1,
X2)
isNat(
X) →
n__isNat(
X)
activate(
n__0) →
0'activate(
n__plus(
X1,
X2)) →
plus(
activate(
X1),
activate(
X2))
activate(
n__isNatKind(
X)) →
isNatKind(
X)
activate(
n__s(
X)) →
s(
activate(
X))
activate(
n__and(
X1,
X2)) →
and(
activate(
X1),
X2)
activate(
n__isNat(
X)) →
isNat(
X)
activate(
X) →
XTypes:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
Lemmas:
activate(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4(+(1, n11442_4))) → *3_4, rt ∈ Ω(n114424)
Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4(x), tt)
The following defined symbols remain to be analysed:
isNatKind, and
They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U31
isNat = plus
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U31
activate = plus
activate = and
activate = isNatKind
U31 = plus
U31 = and
U31 = isNatKind
plus = and
plus = isNatKind
and = isNatKind
(20) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatKind.
(21) Obligation:
TRS:
Rules:
U11(
tt,
V1,
V2) →
U12(
isNat(
activate(
V1)),
activate(
V2))
U12(
tt,
V2) →
U13(
isNat(
activate(
V2)))
U13(
tt) →
ttU21(
tt,
V1) →
U22(
isNat(
activate(
V1)))
U22(
tt) →
ttU31(
tt,
N) →
activate(
N)
U41(
tt,
M,
N) →
s(
plus(
activate(
N),
activate(
M)))
and(
tt,
X) →
activate(
X)
isNat(
n__0) →
ttisNat(
n__plus(
V1,
V2)) →
U11(
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2))),
activate(
V1),
activate(
V2))
isNat(
n__s(
V1)) →
U21(
isNatKind(
activate(
V1)),
activate(
V1))
isNatKind(
n__0) →
ttisNatKind(
n__plus(
V1,
V2)) →
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2)))
isNatKind(
n__s(
V1)) →
isNatKind(
activate(
V1))
plus(
N,
0') →
U31(
and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N)),
N)
plus(
N,
s(
M)) →
U41(
and(
and(
isNat(
M),
n__isNatKind(
M)),
n__and(
n__isNat(
N),
n__isNatKind(
N))),
M,
N)
0' →
n__0plus(
X1,
X2) →
n__plus(
X1,
X2)
isNatKind(
X) →
n__isNatKind(
X)
s(
X) →
n__s(
X)
and(
X1,
X2) →
n__and(
X1,
X2)
isNat(
X) →
n__isNat(
X)
activate(
n__0) →
0'activate(
n__plus(
X1,
X2)) →
plus(
activate(
X1),
activate(
X2))
activate(
n__isNatKind(
X)) →
isNatKind(
X)
activate(
n__s(
X)) →
s(
activate(
X))
activate(
n__and(
X1,
X2)) →
and(
activate(
X1),
X2)
activate(
n__isNat(
X)) →
isNat(
X)
activate(
X) →
XTypes:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
Lemmas:
activate(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4(+(1, n11442_4))) → *3_4, rt ∈ Ω(n114424)
Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4(x), tt)
The following defined symbols remain to be analysed:
and
They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U31
isNat = plus
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U31
activate = plus
activate = and
activate = isNatKind
U31 = plus
U31 = and
U31 = isNatKind
plus = and
plus = isNatKind
and = isNatKind
(22) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol and.
(23) Obligation:
TRS:
Rules:
U11(
tt,
V1,
V2) →
U12(
isNat(
activate(
V1)),
activate(
V2))
U12(
tt,
V2) →
U13(
isNat(
activate(
V2)))
U13(
tt) →
ttU21(
tt,
V1) →
U22(
isNat(
activate(
V1)))
U22(
tt) →
ttU31(
tt,
N) →
activate(
N)
U41(
tt,
M,
N) →
s(
plus(
activate(
N),
activate(
M)))
and(
tt,
X) →
activate(
X)
isNat(
n__0) →
ttisNat(
n__plus(
V1,
V2)) →
U11(
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2))),
activate(
V1),
activate(
V2))
isNat(
n__s(
V1)) →
U21(
isNatKind(
activate(
V1)),
activate(
V1))
isNatKind(
n__0) →
ttisNatKind(
n__plus(
V1,
V2)) →
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2)))
isNatKind(
n__s(
V1)) →
isNatKind(
activate(
V1))
plus(
N,
0') →
U31(
and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N)),
N)
plus(
N,
s(
M)) →
U41(
and(
and(
isNat(
M),
n__isNatKind(
M)),
n__and(
n__isNat(
N),
n__isNatKind(
N))),
M,
N)
0' →
n__0plus(
X1,
X2) →
n__plus(
X1,
X2)
isNatKind(
X) →
n__isNatKind(
X)
s(
X) →
n__s(
X)
and(
X1,
X2) →
n__and(
X1,
X2)
isNat(
X) →
n__isNat(
X)
activate(
n__0) →
0'activate(
n__plus(
X1,
X2)) →
plus(
activate(
X1),
activate(
X2))
activate(
n__isNatKind(
X)) →
isNatKind(
X)
activate(
n__s(
X)) →
s(
activate(
X))
activate(
n__and(
X1,
X2)) →
and(
activate(
X1),
X2)
activate(
n__isNat(
X)) →
isNat(
X)
activate(
X) →
XTypes:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
Lemmas:
activate(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4(+(1, n11442_4))) → *3_4, rt ∈ Ω(n114424)
Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4(x), tt)
No more defined symbols left to analyse.
(24) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
activate(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4(+(1, n11442_4))) → *3_4, rt ∈ Ω(n114424)
(25) BOUNDS(n^1, INF)
(26) Obligation:
TRS:
Rules:
U11(
tt,
V1,
V2) →
U12(
isNat(
activate(
V1)),
activate(
V2))
U12(
tt,
V2) →
U13(
isNat(
activate(
V2)))
U13(
tt) →
ttU21(
tt,
V1) →
U22(
isNat(
activate(
V1)))
U22(
tt) →
ttU31(
tt,
N) →
activate(
N)
U41(
tt,
M,
N) →
s(
plus(
activate(
N),
activate(
M)))
and(
tt,
X) →
activate(
X)
isNat(
n__0) →
ttisNat(
n__plus(
V1,
V2)) →
U11(
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2))),
activate(
V1),
activate(
V2))
isNat(
n__s(
V1)) →
U21(
isNatKind(
activate(
V1)),
activate(
V1))
isNatKind(
n__0) →
ttisNatKind(
n__plus(
V1,
V2)) →
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2)))
isNatKind(
n__s(
V1)) →
isNatKind(
activate(
V1))
plus(
N,
0') →
U31(
and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N)),
N)
plus(
N,
s(
M)) →
U41(
and(
and(
isNat(
M),
n__isNatKind(
M)),
n__and(
n__isNat(
N),
n__isNatKind(
N))),
M,
N)
0' →
n__0plus(
X1,
X2) →
n__plus(
X1,
X2)
isNatKind(
X) →
n__isNatKind(
X)
s(
X) →
n__s(
X)
and(
X1,
X2) →
n__and(
X1,
X2)
isNat(
X) →
n__isNat(
X)
activate(
n__0) →
0'activate(
n__plus(
X1,
X2)) →
plus(
activate(
X1),
activate(
X2))
activate(
n__isNatKind(
X)) →
isNatKind(
X)
activate(
n__s(
X)) →
s(
activate(
X))
activate(
n__and(
X1,
X2)) →
and(
activate(
X1),
X2)
activate(
n__isNat(
X)) →
isNat(
X)
activate(
X) →
XTypes:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
n__isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and
Lemmas:
activate(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4(+(1, n11442_4))) → *3_4, rt ∈ Ω(n114424)
Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4(x), tt)
No more defined symbols left to analyse.
(27) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
activate(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__isNat:n__and2_4(+(1, n11442_4))) → *3_4, rt ∈ Ω(n114424)
(28) BOUNDS(n^1, INF)